Senin, 29 Oktober 2012

ika sartika

    Lingkaran


Persamaan lingkaran

Lingkaran dengan jari-jari r=1, berpusat di (a,b)=(1,2 , 0,5)
Persamaan Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik (x,y) yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu.
Persamaan umum lingkaran adalah:
\boldsymbol (x-x_p)^2 + (y-y_p)^2 = r^2
Penting! Bagi siswa SMA, Anda diharuskan hafal rumus persamaan umum lingkaran karena keluar dalam ujian nasional!
Mencari jarak antara 2 titik A (x1,y1) dan B (x2,y2):
r = \sqrt { (x_1-x_2)^2 + (y_2-y_1)^2}
Mencari jarak antara titik A (x1,y1) dan garis Ax+By+C=0 :
d = \left\vert \frac {Ax_1+By_1+C}{\sqrt {A^2+B^2}} \right\vert
Mencari jari-jari (r) jika diketahui persamaan lingkaran x^2 + y^2 + Ax + By + C=0:
r= \sqrt {\frac {1}{4}A^2 + \frac {1}{4}B^2 - C}
Contoh 1:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di A(2,7) dan melalui B(5,3)!
Jawab:
r= \sqrt { (5-2)^2 + (3-7)^2}
r= \sqrt {25}
r= 5
\boldsymbol (x-x_p)^2 + (y-y_p)^2 = r^2
\boldsymbol (x-2)^2 + (y-7)^2 = 25
x^2+y^2-4x-14y+28=0
Contoh 2:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di puncak parabola y=x^2-2x+5 dan menyinggung garis 3x+4y+5=0!
Jawab:
y=x^2-2x+5
x_p = - \frac {b}{2a} = - (\frac {-2}{2})= 1
y_p = 1^2 - 2 \times 1 + 5 = 4
maka berarti titik pusatnya berada pada koordinat (1,4).
3x+4y+5=0
A=3, B=4, C=5
d = r = \left\vert \frac {Ax_1+By_1+C}{\sqrt {A^2+B^2}} \right\vert
d = r = \left\vert \frac {3 \times 1 + 4 \times 4 + 5}{\sqrt {3^2+4^2}} \right\vert
d = r = \frac {24}{5}
\boldsymbol (x-x_p)^2 + (y-y_p)^2 = r^2
\boldsymbol (x-1)^2 + (y-4)^2 = \frac {576}{25}
x^2+y^2-2x-8y+17 - \frac {576}{25}=0
25x^2+ 25y^2 - 50x - 200y - 151=0

[sunting] Kedudukan garis terhadap lingkaran

Untuk mengetahui kedudukan/ posisi sebuah garis terhadap lingkaran, substitusikan garis terhadap lingkaran sehingga didapatkan bentuk ax2+bx+c=0.
Lihat diskriminannya: D=b^2-4 ac
Jika
  • D<0, berarti garis berada di luar lingkaran (tidak memotong lingkaran)
  • D=0, berarti garis menyinggung lingkaran
  • D>0, berarti garis memotong lingkaran di 2 titik berbeda.
Contoh 1:
  • Tentukan posisi garis:
    • y= x+10 terhadap lingkaran x^2+y^2= 9
Jawab:
x^2 + (x+10)^2=9
x^2+ (x^2+20x+100)-9=0
2x^2 +20x+91=0
D=b^2-4 ac
D=20^2- 4\times 91 \times 2
D= 400-728= -328
Karena D<0, maka garis berada di luar lingkaran.
Contoh 2:
  • Tentukan p agar garis y= -x+p terletak di luar lingkaran x^2+y^2-2x-4y+3=0!
Jawab:
x^2+ (-x+p)^2 - 2x- 4(-x+p)+ 3=0
2x^2 - 2px + p^2 - 2x + 4x -4p + 3=0
2x^2 + (2-2p)x + p^2 -4p + 3=0
syarat: D<0
(2-2p)^2-4(2)(p^2-4p+3)<0
4p^2-8p+4-8p^2+32p-24<0
-4p^2+24p-20<0
-4(p^2-6p+5)<0
-4(p-5)(p-1)<0
p=5 atau p=1
Gambar dengan garis bilangan untuk pertidaksamaan diatas, maka akan didapatkan nilai p: p<1 atau p>5

Persamaan garis singgung lingkaran

Perhatian! Persamaan garis singgung lingkaran merupakan salah satu bahan yang diujikan dalam ujian nasional.

Persamaan garis singgung untuk suatu titik (x1,y1) yang terletak pada lingkaran

  • Jika persamaan lingkaran x^2+y^2=r^2, maka persamaan garis singgungnya:
x_1x + y_1y = r^2

  • Jika persamaan lingkaran (x-x_p)^2+ (y-y_p)^2=r^2, maka persamaan garis singgungnya:
(x_1-x_p)(x-x_p) + (y_1-y_p)(y-y_p) = r^2

  • Jika persamaan lingkaran berbentuk x^2 + y^2 + Ax + By + C =0, maka persamaan garis singgungnya:
x_1x + y_1y + \frac {1}{2} A(x+x_1) + \frac {1}{2} B(y+y_1)+C=0
Persamaan lingkaran x^2 + y^2 + Ax + By + C =0 dapat juga diubah menjadi (x-x_p)^2+ (y-y_p)^2=r^2 dengan kuadrat sempurna, sehingga rumus yang harus dihafalkan jadi lebih sedikit.

Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m

y = mx \pm r \sqrt {m^2+1} atau y-y_p = m (x-x_p) \pm r \sqrt {m^2+1}
Diposting oleh di Tidak ada komentar:
Langganan: Postingan (Atom)